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当-1≤x≤2时,求函数y=f(x)=2x2-4ax+a2+2a+2的最小值,并求最小值为-1时,a的所有可能的值.

题目详情
当-1≤x≤2时,求函数y=f(x)=2x2-4ax+a2+2a+2的最小值,并求最小值为-1时,a的所有可能的值.
▼优质解答
答案和解析
对称轴x=-
b
2a
=-
−4a
2×2
=a,
①a≤-1时,-1≤x≤2范围内,y随x的增大而增大,
当x=-1时,y最小,最小值y=2×(-1)2-4a×(-1)+a2+2a+2=a2+6a+4,
②-1<a<2时,
当x=a时,有最小值,最小值y=2×a2-4a×a+a2+2a+2=-a2+2a+2,
③a≥2时,-1≤x≤2范围内,y随x的增大而减小,
当x=2时,y最小,最小值y=2×22-4a×2+a2+2a+2=a2-6a+10,
综上所述,a≤-1时,最小值为a2+6a+4,
-1<a<2时,最小值为-a2+2a+2,
a≥2时,最小值为a2-6a+10;
∵最小值为-1,
∴a2+6a+4=-1,整理得a2+6a+5=0,
解得a1=-1,a2=-5,
-a2+2a+2=-1,整理得,a2-2a-3=0,
解得a3=-1,a4=3(舍去),
a2-6a+10=-1,整理得,a2-6a+11=0,
△=(-6)2-4×1×11=-8<0,方程无解,
综上所述,a的所有可能值为-1、-5.