设X，Y相互独立，X服从区间[0，1]上的均匀分布，Y服从参数为t=2的指数分布，求Z=X+Y的概率密度函数．

Question

设X，Y相互独立，X服从区间[0，1]上的均匀分布，Y服从参数为t=2的指数分布，求Z=X+Y的概率密度函数．

Answer 1

因为X，Y相互独立，所以X，Y的联合密度函数为：
f（x，y）=

2e−y，   0≤x≤1， 0＜y＜+∞

0，    其他

．
当z≤0时，F_Z（z）=0，f_Z（z）=F_Z′（z）=0．
当0＜z≤1时，
F_Z（z）=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}
=

∫

z 0

dx

∫

z−x 0

2e−2ydy
=

∫

z 0

[1−e−2(z−x)]dx
=(1)/(2)e−2z+z-(1)/(2)，
f_Z（z）=F_Z′（z）=1-e^-2z．
当z＞1时，
F_Z（z）=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}
=

∫

1 0

dx

∫

z−x 0

2e−2ydy
=

∫

1 0

[1−e−2(z−x)]dx
=1-(1)/(2)e−2(z−1)+(1)/(2)e−2z，
f_Z（z）=F_Z′（z）=e^-2（z-1）-e^-2z．
所以，
f_Z（z）=√(作业帮用户2017-10-28问题解析对于独立的随机变量，有f（x，y）=fX（x）fY（y），从而得到X，Y的联合分布；然后极值Z=X+Y的分布函数，求导即得其密度函数．名师点评本题考点：相互独立的随机变量的联合分布函数；均匀分布；指数分布．考点点评：本题考查了计算独立随机变量的联合分布、随机变量的分布函数以及密度函数的方法．为了求解随机变量的密度函数，我们通常先计算其分布函数，求导即得其密度函数．当Z=X+Y时，有FZ（z）=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}，积分时要仔细计算．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议1−e−2z， 0＜z＜1)