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设X,Y相互独立,X服从区间[0,1]上的均匀分布,Y服从参数为t=2的指数分布,求Z=X+Y的概率密度函数.
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设X,Y相互独立,X服从区间[0,1]上的均匀分布,Y服从参数为t=2的指数分布,求Z=X+Y的概率密度函数.
▼优质解答
答案和解析
因为X,Y相互独立,所以X,Y的联合密度函数为:
f(x,y)=
.
当z≤0时,FZ(z)=0,fZ(z)=FZ′(z)=0.
当0<z≤1时,
FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}
=
dx
2e−2ydy
=
[1−e−2(z−x)]dx
=
e−2z+z-
,
fZ(z)=FZ′(z)=1-e-2z.
当z>1时,
FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}
=
dx
2e−2ydy
=
[1−e−2(z−x)]dx
=1-
e−2(z−1)+
e−2z,
fZ(z)=FZ′(z)=e-2(z-1)-e-2z.
所以,
fZ(z)=
f(x,y)=
|
当z≤0时,FZ(z)=0,fZ(z)=FZ′(z)=0.
当0<z≤1时,
FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}
=
∫ | z 0 |
∫ | z−x 0 |
=
∫ | z 0 |
=
1 |
2 |
1 |
2 |
fZ(z)=FZ′(z)=1-e-2z.
当z>1时,
FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}
=
∫ | 1 0 |
∫ | z−x 0 |
=
∫ | 1 0 |
=1-
1 |
2 |
1 |
2 |
fZ(z)=FZ′(z)=e-2(z-1)-e-2z.
所以,
fZ(z)=
|
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