已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若-1，S5，S10成等差数列，则S10-2S5=，S15-S10的最小值为．

Question

已知正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若-1，S₅，S₁₀成等差数列，则S₁₀-2S₅=___，S₁₅-S₁₀的最小值为___．

Answer 1

∵-1，S₅，S₁₀成等差数列，
∴2S₅=S₁₀-1，∴S₁₀-2S₅=1，
又由等比数列的性质可得S₅，S₁₀-S₅，S₁₅-S₁₀为等比数列，
∴S₅（S₁₅-S₁₀）=（S₁₀-S₅）²，
∴S₁₅-S₁₀=((S10-S5)2)/(S5)=((1+2S5-S5)2)/(S5)
=S₅+(1)/(S5)+2≥2√(S5•(1)/(S5))+2=4，
当且仅当S₅=(1)/(S5)即S₅=1时取等号，
∴S₁₅-S₁₀的最小值为4，
故答案为：1；4．