如图在平面直角坐标系中,抛物线y=1/2x^2-1/2x与直线y=1/2x+3/2交与点AB,直线AB交y轴与点C（1）求点AB的坐标（2）点P为线段OB上的一个动点（不与点OB重合）,作PD平行y轴交抛物线与点D①当△OPC为

Question

如图 在平面直角坐标系中,抛物线y=1/2x^2-1/2x与直线y=1/2x+3/2交与点A B,直线AB交y轴与点C
（1）求点A B的坐标
（2）点P为线段OB上的一个动点（不与点O B重合）,作PD平行y轴交抛物线与点D
①当△OPC为等腰三角形时,求点P的坐标;
②当线段PD的长度达到最大值时,直接写出此时点P的坐标______.

Answer 1

(1)
y=1/2x^2-1/2x与y=1/2x+3/2联立得
1/2x^2-1/2x=1/2x+3/2
1/2x^2-x-3/2=0
x^2-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
x=3或x=-1
x=-1,y=1
x=3,y=3
A(-1,1),B(3,3)
(2)
C(0,3/2)
OB直线解析为y=x
①△OPC为等腰三角形
当PC=PO时
P的纵坐标为CO中点纵坐标=3/4
∴3/4=x
P(3/4,3/4)
当PC=CO时
∠PCO=90°
∴P的横坐标=3/2
∴P(3/2,3/2)
②
PD=x-(1/2x^2-1/2x)=3/2x-1/2x^2
对称轴是x=3/2
∴x=3/2时
PD有最大值
P(3/2,3/2)