如图：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12，动点P从点D出发沿DC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，动点Q从点C出发沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动．两个点同时出发，当点P到

Question

如图：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12，动点P从点D出发沿DC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，动点Q从点C出发沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动．两个点同时出发，当点P到达C点时，点Q随之停止运动．求：
（1）梯形ABCD的面积；
（2）当PQ∥AB时，点P离开点D的时间（秒）；
（3）当P、Q、C这三个点构成直角三角形时，点P离开点D多长时间？

Answer 1

（1）作梯形的高AE、DF，得到矩形ADFE及直角△ABE，△DCF．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠B=∠C，∠AEB=∠DFC=90°，
∴△ABE≌△DCF，又AEFD为矩形，得到AD=EF，
∴BE=CF=(1)/(2)（BC-AD）=3，
在直角△ABE中，∠AEB=90°，AB=5，BE=3，
∴根据勾股定理得：AE=4，
则梯形ABCD的面积=(1)/(2)（BC+AD）•AE=(1)/(2)（12+6）×4=36；

（2）如图，当PQ∥AB时，设P点离开D点的时间等于t秒，
则DP=t，PC=5-t，CQ=2t．
过P作PM⊥QC于M．
∵PQ∥AB，
∴∠PQM=∠B，
∵∠B=∠C，
∴∠PQM=∠C，
∴PQ=PC=5-t，
∴QM=MC=t．
∵PM=PC•sinC=CM•tanC，sinC=sinB=(AE)/(AB)＝(4)/(5)，tanC=tanB=(AE)/(BE)＝(4)/(3)，
∴(4)/(5)（5-t）=(4)/(3)t，
∴t=(15)/(8)；

（3）当P、Q、C三点构成直角三角形时，设P点离开D点x秒，则DP=x，PC=5-x，CQ=2x．
分两种情况：①如图，若∠PQC=90°，则cosC=(CQ)/(PC)，
∴(2x)/(5−x)=(3)/(5)，解得x=(15)/(13)；
②如图，若∠QPC=90°，则cosC=(CP)/(CQ)，
∴(5−x)/(2x)=(3)/(5)，解得x=(25)/(11)．
故当P、Q、C三点构成直角三角形时，P点离开D点的时间为(15)/(13)秒或(25)/(11)秒．