已知B为△ACD所在平面外一点,点M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心1.求证：平面MNG//平面ACD2.求S△MNG：S△ADC

Question

已知B为△ACD所在平面外一点,点M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心
1.求证：平面MNG//平面ACD
2.求S△MNG：S△ADC

Answer 1

(1)连结BM,BN,BG并延长分别交AC,AD,CD于P,F,H．
∵M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心,

则有BMMP＝BNNF＝BGGH＝2,
且P,H,F分别为AC,CD,AD的中点．
连结PF,FH,PH,有MN∥PF．
又PF��平面ACD,MN��平面ACD,
∴MN∥平面ACD．
同理MG∥平面ACD,MG∩MN＝M,
∴平面MNG∥平面ACD．
(2)解　由(1)可知MGPH＝BGBH＝23,
∴MG＝23PH．
又PH＝12AD,∴MG＝13AD．
同理NG＝13AC,MN＝13CD．
∴△MNG∽△ACD,其相似比为1∶3．
∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9．