已知G是一个群,f：G-->G,f(x)=x^(-1),问增加什么条件能使G与自己同构?求证明.

Question

已知G是一个群,f：G-->G,f(x) = x^(-1),问增加什么条件能使G与自己同构?求证明.

Answer 1

充要条件是G为交换群
证明：
1）充分性：显然f为双射,只需验证f保持运算即可
设a,b是两个任意元,因为G为交换群,所以ab=ba
f(ab)=(ab)^-1=b^-1a^-1=a^-1b^-1=f(a)f(b),故f是自同构
2)必要性：
因为f是自同构,所以f(ab)=f(a)f(b)
即b^-1a^-1=a^-1b^-1
(ab)^-1=(ba)^-1
ab=ba
故G为交换群
证毕.