如图，抛物线交x轴于点A（-2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，-4）．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）若直线y=-x交抛物线于M，N两点，交抛物线的对称轴于点E，连接BC，

Question

如图，抛物线交x轴于点A（-2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，-4）．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）若直线y=-x交抛物线于M，N两点，交抛物线的对称轴于点E，连接BC，EB，EC．试判断△EBC的形状，并加以证明；
（3）设P为直线MN上的动点，过P作PF∥ED交直线MN下方的抛物线于点F．问：在直线MN上是否存在点P，使得以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设所求的抛物线解析式y=ax²+bx+c，
∵点A、B、C均在此抛物线上，
∴
∴
∴所求的抛物线解析式为y=-x-4，
即y=（x-1）²-，
∴顶点D的坐标为（1，-），

（2）△EBC的形状为等腰三角形，
证明：
∵直线MN的函数解析式为y=-x，
∴ON是∠BOC的平分线，
∵B、C两点的坐标分别为（4，0），（0，-4），
∴CO=BO=4，
∴MN是BC的垂直平分线，
∴CE=BE，
即△ECB是等腰三角形，

（3）答：存在，
∵PF∥ED，
∴要使以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形，只要使PF=ED，
∵点E是抛物线的对称轴和直线的交点，
∴E点的坐标为（1，-1），
∴ED=-1-（-）=，
∵点P是直线上的动点，
∴设P点的坐标为（k，-k），
则直线PF的函数解析式为x=k，
∵点F是抛物线和直线PF的交点，
∴F的坐标为（k，），
∴PF=，
∴-，
∴k=±1，
当k=1时，点P的坐标为（1，-1），F的坐标为（1，），
此时PF与ED重合，不存在以P、F、D、E为顶点的平行四边形，
当k=-1时，点P的坐标为（-1，1），F的坐标为（-1，），
此时，四边形PFDE是平行四边形．