设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1=3，an+1=2Sn+3（n∈N）（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=（2n-1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

设S_n是数列{a_n}的前n项和，已知a₁=3，a_n+1=2S_n+3（n∈N）
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（I）∵a_n+1=2S_n+3，∴当n≥2时，a_n=2S_n-1+3，
∴a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，化为a_n+1=3a_n．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为3，公比为3．
∴a_n=3ⁿ．
（II）b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•3ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ，
3T_n=3²+3×3³+…+（2n-3）•3ⁿ+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=3+2（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=2×(3(3n-1))/(3-1)-3-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=（2-2n）•3ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3．