利用单调有界必有极限证明一下数列limxn存在,并求出极限1）x1=根号2……xn=根号（2x(n-1)）2)x0=1,x1=1+x0/(1+x0),……,x(n+1)=1+xn/(1+xn)3)xn=n^k/a^n(a>1,k为正整数)第三小题不用求极限

Question

利用单调有界必有极限证明一下数列 lim xn存在,并求出极限
1）x1=根号2 ……xn=根号（2x(n-1)）
2)x0=1,x1=1+x0/(1+x0),……,x(n+1)=1+xn/(1+xn)
3)xn=n^k/a^n (a>1,k为正整数)
第三小题不用求极限

Answer 1

1.
x[n+1]/x[n]=√(x[n]/x[n-1])
x[2]/x[1]=√[2(√2)]/√2=√(√2)>1
利用归纳法可知x[n+1]/x[n]>1,即x[n]是严格单调递增的数列,因为x[1]1,k为正整数,故当n充分大时（1+1/n)^k1/[a^(1/k)-1]即可).也就是说n充分大时,x[n+1]0,因此x[n]有极限.