若函数f（x）=（x2+mx+n）（1-x2）的图象关于直线x=2对称，则f（x）的最大值是（）A、16B、14C、15D、18

Question

若函数f（x）=（x ² +mx+n）（1-x ² ）的图象关于直线x=2对称，则f（x）的最大值是（　　）

A、16

B、14

C、15

D、18

Answer 1

考点：
函数的图象
专题：
函数的性质及应用 导数的综合应用
分析：
根据对称性求出m，n，利用导数研究函数的最值即可．

∵f（x）=（x2+mx+n）（1-x2）的图象关于直线x=2对称，∴f（1）=f（3），f（-1）=f（5），即9+3m+n=025+5m+n=0，解得m=-8，m=15，即f（x）=（x2-8x+15）（1-x2）=x4+8x3-14x2-8x+15，则f′（x）=-4x3+24x2-28x-8=-4（x-2）（x2-4x-1），由f′（x）=0，解得x=2或x=2+5或x=2-5，由f′（x）＞0，解得2＜x＜2+5或x＜2-5，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，解得2-5＜x＜2或x＞2+5，此时函数单调递减，作出对应的函数图象如图：则当x=2+5或2-5时，函数f（x）取得极大值同时也是最大值则f（2+5）=16，故选：A．
点评：
本题主要考查函数最值的区间，根据对称性求出m，n的值，利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，综合性较强，难度较大