已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2=8，Sn=an+12-n-1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{2×3nanan+1}的前n项和Tn．

Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=8，S_n=(an+1)/(2)-n-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{(2×3n)/(anan+1)}的前n项和T_n．

Answer 1

（I）∵a₂=8，S_n=(an+1)/(2)-n-1．
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(an+1)/(2)-n-1-((an)/(2)-n)，化为：a_n+1=3a_n+2，
∴a_n+1+1=3（a_n+1），∴数列{a_n+1}是等比数列，第二项为9，公比为3．
∴a_n+1=9×3^n-2=3ⁿ．
∴a_n=3ⁿ-1．
（II）(2×3n)/(anan+1)=(2×3n)/((3n-1)(3n+1-1))=(1)/(3n-1)-(1)/(3n+1-1)．
∴数列{(2×3n)/(anan+1)}的前n项和T_n=((1)/(3-1)-(1)/(32-1))+((1)/(32-1)-(1)/(33-1))+…+((1)/(3n-1)-(1)/(3n+1-1))
=(1)/(2)-(1)/(3n+1-1)．