等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=20°，点D，E分别是AC，AB边上的两点．且∠ABD=10°，∠ACE=20°．求∠BDE．

Question

等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=20°，点D，E分别是AC，AB边上的两点．且∠ABD=10°，∠ACE=20°．求∠BDE．

Answer 1

作EF平行于BC，交AC于F，连接BF交CE于G，连接AG，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，EB=FC，
∴四边形EBCF是等腰梯形，
∴EC=BF，
在△EFB和△FEC中，

EF=FE

EB=FC

FB=EC

，
∴△BEF≌△CFE
∴∠EBF=∠FCE=20°=∠A，BF=CE
∴AE=AF=CE=BF，
∴∠FBC=60°=∠ECB=∠BGC=∠EGF=∠EFG=∠GEF
∴△EFG，△BCG为等边三角形，
∴EG=FG，
在△AGE和△AGF中，

AG=AG

AE=AF

EG=FG

∴△AEG≌△AFG，
∴∠AGE=∠AGF=30°，∠GAE=∠GAF=10°，
∵∠ABG=20°，∠ABD=10°，
∴∠DBF=10°=∠FAG
在△FAG和△FBD中，

FA=FB

∠AFG=∠BFD

∠FAG=∠DBF

∴△BDF≌△AGF
∴DF=GF=EF，∠BDF=∠AGF=30°，
∴△FDE为等腰三角形
∵∠AFE=∠ACB=80°
∴∠EDF=∠DEF=50°
∴∠BDE=∠EDF-∠BDF=20°．