已知抛物线C；y2=2px过点A（1，1）．（1）求抛物线C的方程；（2）过点P（3，-1）的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合），设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定

Question

已知抛物线C；y²=2px过点A（1，1）．

（1）求抛物线C的方程；
（2）过点P（3，-1）的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合），设直线AM，AN的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁•k₂为定值．

Answer 1

（1）由题意抛物线y²=2px过点A（1，1），所以p=(1)/(2)，
所以得抛物线的方程为y²=x；
（2）证明：设过点P（3，-1）的直线l的方程为x-3=m（y+1），即x=my+m+3，
代入y²=x得y²-my-m-3=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=m，y₁y₂=-m-3，
所以k₁•k₂=(y1-1)/(x1-1)•(y2-1)/(x2-1)=(y1y2-(y1+y2)+1)/(m2y1y2+m(m+2)y1y2+(m+2)2)=-(1)/(2)