如图1，在等腰Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC；在等腰Rt△DCE中，∠DCE=90°，CD=CE；点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、BE，点N是线段BE的中点，连接CN与AD交于点G．（1）若CN=6.5，CE=5，求BD的值．（2）

Question

如图1，在等腰Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC；在等腰Rt△DCE中，∠DCE=90°，CD=CE；点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、BE，点N是线段BE的中点，连接CN与AD交于点G．

（1）若CN=6.5，CE=5，求BD的值．
（2）求证：CN⊥AD．
（3）把等腰Rt△DCE绕点C转至如图2位置，点N是线段BE的中点，延长NC交AD于点H，请问（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）∵∠ACB=90°，点N是线段BE的中点，
∴BE=2CN=13，
∵CE=5，
∴BC=√(BE2-CE2)=12，
∵CD=CE=5，
∴BD=BC-CD=7；

（2）在△ACD与△BCE中，

AC=BC

∠ACD=∠BCE

CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=90°，点N是线段BE的中点，
∴CN=BN，
∴∠CBE=∠NCD，
∴∠NCD=∠CAD，
∵∠NCD+∠NCA=90°，
∴∠CAG+∠GCA=90°，
∴∠CGA=90°，
∴CN⊥AD；

（3）（2）中的结论还成立，如图2，延长CN到F使FN=CN，连接BF，
在△CEN与△BFN中，

CN=FN

∠CNE=∠BNF

EN=BN

，
∴△CEN≌△BNF，
∴CE=BF，∠F=∠ECN，
∵∠CBF=180°-∠F-∠BCF，∠DCA=360°-∠DCE-∠ACB-∠BCE=180°-∠ECF-∠BCF，
∴∠CBF=∠DCA，
∵CE=CD，
∴BF=CD，
在△ACD与△BCF中，

CD=BF

∠ACD=∠FBC

AC=BC

，
∴△ACD≌△BCF，
∴∠DAC=∠BCF，
∵∠BCF+∠ACH=90°，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
∴∠AHC=90°，
∴CN⊥AD．