椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上异于顶点的动点，若恰好有4个不同的点P，使得△PF1F2为等腰三角形，且有一个角为钝角

Question

椭圆 (x2)/(a2)+ (y2)/(b2)=1（a>b>0）的左右焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆上异于顶点的动点，若恰好有4个不同的点P，使得△PF₁F₂为等腰三角形，且有一个角为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是___．

Answer 1

根据题意可知等腰三角形△PF₁F₂中的钝角只能是顶角，
又∵P是椭圆上异于顶点的动点，
∴只能是PF₁或PF₂为等腰三角形的底边，
下面只考虑以F₁P作为等腰三角形的底边这种情况，
由对称性可知另一种情况，此时F₁F₂=F₂P，
∴点P在以F₂为圆心，半径为焦距2c的圆上，
∴当以F₂为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2个交点时，
存在2个满足条件的等腰△F₁F₂P，
此时2a-2c<2c+2c，解得a<3c，
所以离心率e>(1)/(3)，
又∠F₁F₂P为钝角，∴|F1P|2>|F1F2|2+|F2P|2，
∴（2a-2c）²>（2c）²×2，即e<√(2)-1．
这样，总共有4个不同的点P满足题意，
综上所述，离心率的取值范围是：e∈（(1)/(3)，√(2)-1），
故答案为：（(1)/(3)，√(2)-1）．