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椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上异于顶点的动点,若恰好有4个不同的点P,使得△PF1F2为等腰三角形,且有一个角为钝角
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椭圆
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=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上异于顶点的动点,若恰好有4个不同的点P,使得△PF1F2为等腰三角形,且有一个角为钝角,则椭圆的离心率的取值范围是___.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
▼优质解答
答案和解析
根据题意可知等腰三角形△PF1F2中的钝角只能是顶角,
又∵P是椭圆上异于顶点的动点,
∴只能是PF1或PF2为等腰三角形的底边,
下面只考虑以F1P作为等腰三角形的底边这种情况,
由对称性可知另一种情况,此时F1F2=F2P,
∴点P在以F2为圆心,半径为焦距2c的圆上,
∴当以F2为圆心,半径为2c的圆与椭圆C有2个交点时,
存在2个满足条件的等腰△F1F2P,
此时2a-2c<2c+2c,解得a<3c,
所以离心率e>
,
又∠F1F2P为钝角,∴|F1P|2>|F1F2|2+|F2P|2,
∴(2a-2c)2>(2c)2×2,即e<
-1.
这样,总共有4个不同的点P满足题意,
综上所述,离心率的取值范围是:e∈(
,
-1),
故答案为:(
,
-1).
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_c3055a0e91a3bbd6cf22ec2875b9d2a7.jpg)
又∵P是椭圆上异于顶点的动点,
∴只能是PF1或PF2为等腰三角形的底边,
下面只考虑以F1P作为等腰三角形的底边这种情况,
由对称性可知另一种情况,此时F1F2=F2P,
∴点P在以F2为圆心,半径为焦距2c的圆上,
∴当以F2为圆心,半径为2c的圆与椭圆C有2个交点时,
存在2个满足条件的等腰△F1F2P,
此时2a-2c<2c+2c,解得a<3c,
所以离心率e>
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又∠F1F2P为钝角,∴|F1P|2>|F1F2|2+|F2P|2,
∴(2a-2c)2>(2c)2×2,即e<
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这样,总共有4个不同的点P满足题意,
综上所述,离心率的取值范围是:e∈(
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故答案为:(
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