设f(x)=∫lnt/（t+1）dt,积分上限为x,下限为1.求f(x)+f(1/x)

Question

设f(x)=∫ lnt/（t+1）dt,积分上限为x,下限为1.求f(x)+f(1/x)

Answer 1

f(1/x)=∫[1,1/x]lnt/(t+1)dt, 做换元u=1/t,
f(1/x)=∫[1,x]ln(1/u)/(1+1/u)d(1/u)
=∫[1,x]ulnu/(u+1)/u��du
=∫[1,x]lnu/(u(u+1))du
所以f(x)+f(1/x)=∫[1,x](ulnu+lnu)/(u(u+1))du=∫[1,x]lnu/udu=ln��x/2