您好!请问如何证明当x趋于0,（1+x）的1/n次方-1等价于(1/n)*x.给的答案里面是：(1+x)^(1/n)=[(1+x)^(1/n)^n-1]/{[(1+x)^(n-1/n)]+[(1+x)^(n-2/n)]+···+1}我主要是这个公式不理解,因为看到您之前的解答,希望您想

Question

您好!请问如何证明当x趋于0,（1+x）的1/n次方-1等价于(1/n)*x.
给的答案里面是：(1+x)^(1/n)=[(1+x)^(1/n)^n-1]/{[(1+x)^(n-1/n)]+[(1+x)^(n-2/n)]+···+1}我主要是这个公式不理解,因为看到您之前的解答,希望您想家解释.请问这个该如何理解?这个用了哪个公式呢?公式叫什么名字?非常感谢您的回答!

Answer 1

实质上是利用公式：
a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+…+ab^(n-2)+b^(n-1))
至于这个公式叫什么名字,其实我也不太清楚
其实这个公式就是一个因式分解而已,没什么太特别的地方~~
而要证明这个公式,实质上只需要验证一下这个公式就可以了
将等式右面的部分拆开,再化简就有左面的东西了~~
或者用数学归纳法也可以~~~

利用这个公式,只需要令：
a=(1+x)^(1/n),b=1
lim(x→0) [(1+x)^(1/n)-1] / (x/n)
=lim (a-b) / (x/n)
=lim (a^n-b^n) / (x/n)(a^(n-1)+…+b^(n-1))
=lim (1+x-1) / (x/n)(a^(n-1)+a^(n-2)+…+a+1)
=lim n / (a^(n-1)+a^(n-2)+…+a+1)
再注意到,a→1,n为有限数
=lim n / (1+1+…+1) ,共有n个1
=lim n/n
=1
因此,二者为等价无穷小
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