在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）

Question

在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．

（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．
（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．

Answer 1

（1）∠AMQ=45°+α；理由如下：
∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°-α，
∵QH⊥AP，
∴∠AHM=90°，
∴∠AMQ=180°-∠AHM-∠PAB=45°+α；

（2）PQ=√(2)MB；理由如下：
连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：
∵AC⊥QP，CQ=CP，
∴∠QAC=∠PAC=α，
∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，
∴AP=AQ=QM，
在△APC和△QME中，

∠MQE=∠PAC

∠ACP=∠QEM

AP=QM

，
∴△APC≌△QME（AAS），
∴PC=ME，
∴△AEB是等腰直角三角形，
∴(1)/(2)PQ=(√(2))/(2)MB，
∴PQ=√(2)MB．