设向量组的秩r{α1，α2，α3，α4}=4，r{α1，α2，α3，α5}=3，则r{α1，α2，α3，α4+α5}=．

Question

设向量组的秩r{α₁，α₂，α₃，α₄}=4，r{α₁，α₂，α₃，α₅}=3，则r{α₁，α₂，α₃，α₄+α₅}=___．

Answer 1

由r{α₁，α₂，α₃，α₄}=4，知α₁，α₂，α₃，α₄是线性无关的
由r{α₁，α₂，α₃，α₅}=3，知α₁，α₂，α₃，α₅是线性相关的
因此α₅能被α₁，α₂，α₃线性表出
即存在一组非零实数k_i（i=1，2，3），使得
k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=α₅
∴α₄+α₅=k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃+α₄
∴若存在一组实数，使得
x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃+x₄（α₄+α₅）=0
则有
（x₁+x₄k₁）α₁+（x₂+x₄k₂）α₂+（x₃+x₄k₃）α₃+（x₄+1）α₄=0
而α₁，α₂，α₃，α₄是线性无关
∴必有x₄=-1
这样{α₁，α₂，α₃，α₄+α₅}是线性相关的
而线性无关的部分组也线性无关，
因此{α₁，α₂，α₃}是线性无关的
∴r{α₁，α₂，α₃，α₄+α₅}=3．