设向量组α1，α2，α3线性无关，问常数a，b，c满足什么条件aα1-α2，bα2-α3，cα3-α1线性相关．

Question

设向量组α₁，α₂，α₃线性无关，问常数a，b，c满足什么条件aα₁-α₂，bα₂-α₃，cα₃-α₁线性相关．

Answer 1

假设：k₁（aα₁-α₂）+k₂（bα₂-α₃）+k₃（cα₃-α₁）=0，
得：（k₁a-k₃）α₁+（k₂b-k₁）α₂+（k₃c-k₂）α₃=0，
因为 α₁，α₂，α₃线性无关，
得方程组：

ak1−k3＝0

−k1+bk2＝0

−k2+ck3＝0

，
当行列式

.

a	0	−1
−1	b	0
0	−1	c

.

＝0时，k₁，k₂，k₃有非零解，
所以当abc=1时，aα₁-α₂，bα₂-α₃，cα₃-α₁线性相关．