已知a,b为不共线的向量,t∈R（1）求|ta-b|的最小值及相应的t值；（2）存在两个正数t1,t2,且t1≠t2,使|t1a-b|=|t2a-b|的充要条件.辅导书上证明第二问说充要条件是|b|sin@

Question

已知a,b为不共线的向量,t∈R （1）求|ta-b|的最小值及相应的t值；
（2）存在两个正数t1,t2,且t1≠t2,使|t1a-b|=|t2a-b|的充要条件.
辅导书上证明第二问 说充要条件是|b|sin@

Answer 1

1、|ta-b|^2=(ta-b)*(ta-b)=|a|^2*t^2-2(a*b)t+|b|^2=|a|^2[t－(a*b)/|a|]^2+[|b|^2-(a*b)^2/|a|^2],所以t＝(a*b)/|a|时,|ta-b|最小,最小值是√[|b|^2-(a*b)^2/|a|^2]＝|b|sinθ,θ是a与b的夹角.

2、目的是为了保证t是正数.
|ta-b|^2=(ta-b)*(ta-b)=|a|^2*t^2-2(a*b)t+|b|^2,是一个二元函数,图形是开口向上的抛物线,且在纵轴上的截距是正数.所以只要对称轴在纵轴的右侧,即可保证结论成立.所以t=(a*b)/|a|^2＞0,a*b＞0,夹角θ是锐角.
从图形上来看,此时|b|sinθ＜|ta-b|＜|b|