如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径作圆，过A点作圆的切线，交DC于E，切点为F．（1）求△ADE的面积；（2）求BF的长．

Question

如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径作圆，过A点作圆的切线，交DC于E，切点为F．

（1）求△ADE的面积； 
（2）求BF的长．

Answer 1

（1）∵AB⊥BC，
∴AB为圆O的切线，
又AE为圆O的切线，
∴AB=AF=4，
同理得到EF=EC，
设EF=EC=x，则有DE=DC-EC=4-x，AE=AF+EF=4+x，
在Rt△ADE中，利用勾股定理得：AE²=AD²+DE²，即（4+x）²=4²+（4-x）²，
解得：x=1，
∴DE=4-1=3，
则S_△ADE=(1)/(2)AD•DE=6；
（2）连接OA，OF，
∵OB⊥AB，OF⊥AF，且OB=OF，
∴AO为∠BAF的平分线，
∵AB=AF，
∴AM⊥BF，M为BF的中点，
在Rt△ABO中，根据勾股定理得：OA=√(AB2+OB2)=2√(5)，
∵S_△ABO=(1)/(2)AB•OB=(1)/(2)OA•BM，
∴BM=(4×2)/(2√(5))=(4√(5))/(5)，
则BF=2BM=(8√(5))/(5)．