已知圆锥的正视图是边长为2的正三角形，O是底面圆心．（Ⅰ）求圆锥的侧面积；（Ⅱ）经过圆锥的高AO的中点O′作平行于圆锥底面的截面，求截得的两部分几何体的体积比．

Question

已知圆锥的正视图是边长为2的正三角形，O是底面圆心．
（Ⅰ）求圆锥的侧面积；
（Ⅱ）经过圆锥的高AO的中点O′作平行于圆锥底面的截面，求截得的两部分几何体的体积比．

Answer 1

（Ⅰ）由题意得圆锥底面半径r=1，母线长l=2．∴S_侧=πrl=2π．
（Ⅱ）设圆锥的高为h，则h=√(3)，r=1，
∴小圆锥的高h′=(√(3))/(2)，小圆锥的底面半径r′=(1)/(2)，
∴V圆锥＝(1)/(3)Sh＝(√(3))/(3)π．V小圆锥＝(1)/(3)S′h′＝(√(3))/(24)π．
∴V_圆台=V_圆锥-V_小圆锥=(1)/(3)Sh-(1)/(3)S′h′=(√(3)π)/(3)−(√(3)π)/(24)=