问个数列求和~1+4+9+16+……+n方请问这个数列的和得怎么求?^^我还想知道是怎么推出来的……

Question

问个数列求和~
1+4+9+16+……+n方
请问这个数列的和得怎么求?^^
我还想知道是怎么推出来的……

Answer 1

立方差公式
n³-(n-1)³=n²+(n-1)²+n(n-1) =n²+(n-1)²+n²-n =2n²+(n-1)²-n
2³-1³=2•2²+1²-2
3³-2³=2•3²+2²-3
4³-3³=2•4²+3²-4
.
n³-(n-1)³=2n²+(n-1)²-n
以上等式相加
n³-1³=2(2²+3²+...+n²)+[1²+2²+...+(n-1)²]-(2+3+4+...+n)
n³-1=2(1²+2²+3²+...+n²)-2+[1²+2²+...+(n-1)²+n²]-n²-(2+3+4+...+n)
n³-1=3(1²+2²+3²+...+n²)-2-n²-(1+2+3+...+n)+1
n³-1=3(1²+2²+3²+...+n²)-1-n²-n(n+1)/2
3(1²+2²+3²+...+n²)
=n³+n²+n(n+1)/2
=[2n³+2n²+n(n+1)]/2
=n(n+1)(2n+1)/2
1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6