AK=B,K可逆,则A,B列等价,且行向量线性相关性相同我想问为什么行向量线性相关性相同,如何证明

Question

AK=B,K可逆,则A,B列等价,且行向量线性相关性相同
我想问为什么行向量线性相关性相同,如何证明

Answer 1

将A,B按行分块, 则有 aiK = bi
由K可逆, 则也有 ai = biK^-1.
这就可推出 A 的行向量组的线性关系 与 B 的行向量组的线性关系 是一样的.
如:
若 k1a1+...+ksas = 0
则 k1a1K+...+ksasK = 0
即有 k1b1+...+ksbs = 0
反之亦然.
注: AK=B,K可逆, 也就是说A经过初等列变换化成B
可参考 A经初等行变换化成B, 则 A,B 的列向量组线性相关性相同
即 初等行变换保持矩阵列向量组的线性关系!