设fx是一个整系数多项式,证明,若f0f1皆为奇数,则fx没有整数根

Question

设fx是一个整系数多项式,证明,若f0f1皆为奇数,则fx没有整数根

Answer 1

设 f(x)=an*x^n+...+a1*x+a0
其中,a0,a1,...,an是整数.
由条件易知,a0是奇函数,a1+...+an是偶数.
分奇偶两种情况讨论x.
（1）若x是偶数,则f(x)显然是奇函数；
（2）若x是奇数,由于 a1+...+an是偶函数,
从而 a1,...,an中,奇数成对出现,这些奇系数与x的幂的乘积之和显为偶数,
于是 an*x^n+...+a1*x是偶数,所以f(x)是奇数.
由（1）,（2）f(x)=0没有整数解.