求幂级数的和函数∑(n=0到∞)n的平方（乘以）x的n次方

Question

求幂级数的和函数
∑(n=0到∞) n的平方（乘以）x的n次方

Answer 1

∑(n=0到∞) n^2x^n
=x*∑(n=0到∞) n^2x^(n-1)
=x*∑(n=0到∞) (nx^n)'
=x*∑(n=0到∞) (x*nx^(n-1))'
=x*∑(n=0到∞) (x*(x^n)')'
=x* (x*(∑(n=0到∞)x^n)')'
因为
∑(n=0到∞)x^n=1/(1-x)
所以原式
=x* (x*(1/(1-x))')'
=x* (x*(1/(1-x)^2))'
=x* (x/(1-x)^2))'
=x* (1+x)/(1-x)^3
=[x(1+x)]/(1-x)^3