在直角三角形ABC中,∠BAC＝90度,D是斜边上的点,E是AD的中点,∠BED=∠CED,求证,∠BDA=2∠BAD.

Question

在直角三角形ABC中,∠BAC＝90度,D是斜边上的点,E是AD的中点,∠BED=∠CED,求证,∠BDA=2∠BAD.

Answer 1

证明：
如图所示,△BAC为直角三角形,∠BAC=90°
过C点做CG∥AD交BE的延长线于F,交BA的延长线于G
边接AF,DF
∵E为AD的中点,CG∥AD
∴F为CG的中点,
∵∠BAC=90°
∴∠GAC=90°
∴△GAC为直角三角形,
F为CG的中点
∴AF=FC=FG
∵∠BED=∠CED,CG∥AD,
∴∠EFC=∠ECF,EF=EC
在△AEF和△DEC中,AE=DE,∠AEF=∠CED,EF=EC
∴△AEF全等于△DEC
∴AF=DC,
∴AF=FC=DC
在△DCF中,∠DFC=∠FDC
∵CG∥AD
∴∠ADF=∠FDC
∵四边形ADCF为等腰梯形,左右对称.
∴∠DAC=∠ADF
综上所述,∠ADC=2∠DAC
同理可证∠ADB=2∠DAB
（∠ADC+∠ADB=180°,∠DAC+∠DAB=90°）