已知数列{an}满足an+1=a2n-2an+2+1(n∈N*)，则使不等式a2015>2015成立的所有正整

Question

已知数列{a_n}满足a_n+1= √(a2n-2an+2)+1(n∈N*)，则使不等式a₂₀₁₅>2015成立的所有正整数a₁的集合为___．

Answer 1

由a_n+1=√(a2n-2an+2)+1(n∈N*)，得（a_n+1-1）²=a_n²-2a_n+2，
即(an+1-1)2=(an-1)2+1，
则数列{(an-1)2}是以(a1-1)2为首项，以1为公差的等差数列，
∴(an-1)2=(a1-1)2+n-1，
则an-1=±√((a1-1)2+n-1)，
即an=1±√((a1-1)2+n-1)，
取an=1+√((a1-1)2+n-1)，
由a₂₀₁₅>2015，得1+√((a1-1)2+2014)>2015，
即(a1-1)2>2014×2013，
∵a₁是正整数，∴a₁≥2015．
故答案为：{a₁|a₁≥2015，且a1∈N*}．