怎么样证明（xyz)^1/3小于等于1/3（x+y+z）”(geometricmean小于等于arithmeticmean?)

Question

怎么样证明（xyz)^1/3小于等于1/3（x+y+z）”(geometric mean小于等于arithmetic mean?)

Answer 1

此题缺少一个条件,x,y,z全部大于0
此时可以转化为x^3+y^3+z^3≥3xyz (*)
不等式（*）左右两侧同时乘以因式(xy+yz+zx)
展开,
左边化简成x(y^4+z^4)+y(x^4+z^4)+z(y^4+x^4)+xyz(x^2+y^2+z^2)
右边化简成xyz(xy+yz+zx)＋2xy^2z^2+2yx^2z^2+2zy^2x^2
又因为x^2+y^2+z^2≥xy+yz+zx（可以自己验证）
所以不等式(*)成立,即1/3（x+y+z）≥（xyz)^1/3