双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．（1）求双曲线的

Question

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l ₁ ，l ₂ ，经过右焦点F垂直于l ₁ 的直线分别交l ₁ ，l ₂ 于A，B两点．已知| |、| |、| |成等差数列，且 与 同向．
（1）求双曲线的离心率；
（2）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

Answer 1

（1）设双曲线方程为
由 ， 同向，
∴渐近线的倾斜角为（0， ），
∴渐近线斜率为：
∴|AB| ² =（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|） ² |AB|，∴
∴
可得： ，
而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=
而由对称性可知：OA的斜率为k=tan
∴ ；
∴ ∴
（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为 ﹣ =1，c= b，
∴AB的直线方程为 y=﹣2（x﹣ b），
代入双曲线方程得：15x ² ﹣32 bx+84b ² =0，
∴x ₁ +x ₂ = ，x ₁ x ₂ = ，
4= ，16= ﹣ ，
∴b ² =9，所求双曲线方程为： ﹣ =1．