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双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．（1）求双曲线的
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双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l 1 ，l 2 ，经过右焦点F垂直于l 1 的直线分别交l 1 ，l 2 于A，B两点．已知| |、| |、| |成等差数列，且 与 同向．（1）求双曲线的离心率； （2）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． |
▼优质解答
答案和解析
（1）设双曲线方程为 由  ， 同向，∴渐近线的倾斜角为（0，  ），∴渐近线斜率为：  ∴|AB| 2 =（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|） 2 |AB|，∴  ∴  可得：  ，而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=  而由对称性可知：OA的斜率为k=tan  ∴  ；∴  ∴ （2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为  ﹣ =1，c= b，∴AB的直线方程为 y=﹣2（x﹣  b），代入双曲线方程得：15x 2 ﹣32  bx+84b 2 =0，∴x 1 +x 2 =  ，x 1 x 2 = ，4=  ，16= ﹣ ，∴b 2 =9，所求双曲线方程为：  ﹣ =1． |
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