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如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点E在边AB上,点F在边CD上,点G、H在对角线AC上,若四边形EGFH是菱形,则AE的长是.

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如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点E在边AB上,点F在边CD上,点G、H在对角线AC上,若四边形EGFH是菱形,则AE的长是___.
作业帮
▼优质解答
答案和解析
作业帮 连接EF交AC于O,
∵四边形EGFH是菱形,
∴EF⊥AC,OE=OF,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D=90°,AB∥CD,
∴∠ACD=∠CAB,
在△CFO与△AOE中,
∠FCO=∠OAB
∠FOC=∠AOE
OF=OE

∴△CFO≌△AOE(AAS),
∴AO=CO,
∵AC=
AB2+BC2
=4
5

∴AO=
1
2
AC=2
5

∵∠CAB=∠CAB,∠AOE=∠B=90°,
∴△AOE∽△ABC,
AO
AB
=
AE
AC

2
5
8
=
AE
4
5

∴AE=5.
故答案为5.