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如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点E在边AB上,点F在边CD上,点G、H在对角线AC上,若四边形EGFH是菱形,则AE的长是.
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如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点E在边AB上,点F在边CD上,点G、H在对角线AC上,若四边形EGFH是菱形,则AE的长是___.
▼优质解答
答案和解析
连接EF交AC于O,
∵四边形EGFH是菱形,
∴EF⊥AC,OE=OF,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D=90°,AB∥CD,
∴∠ACD=∠CAB,
在△CFO与△AOE中,
,
∴△CFO≌△AOE(AAS),
∴AO=CO,
∵AC=
=4
,
∴AO=
AC=2
,
∵∠CAB=∠CAB,∠AOE=∠B=90°,
∴△AOE∽△ABC,
∴
=
,
∴
=
,
∴AE=5.
故答案为5.
∵四边形EGFH是菱形,
∴EF⊥AC,OE=OF,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D=90°,AB∥CD,
∴∠ACD=∠CAB,
在△CFO与△AOE中,
|
∴△CFO≌△AOE(AAS),
∴AO=CO,
∵AC=
AB2+BC2 |
5 |
∴AO=
1 |
2 |
5 |
∵∠CAB=∠CAB,∠AOE=∠B=90°,
∴△AOE∽△ABC,
∴
AO |
AB |
AE |
AC |
∴
2
| ||
8 |
AE | ||
4
|
∴AE=5.
故答案为5.
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