自△ABC内的任一点P,作三角形三条边的垂线,PD⊥BC,PE⊥CA,PF⊥AB,若BD=BF,CD=CE,求证：AE=AF注意,E,D,F在三角形外部

Question

自△ABC内的任一点P,作三角形三条边的垂线,PD⊥BC,PE⊥CA,PF⊥AB,若BD=BF,CD=CE,求证：AE=AF
注意,E,D,F在三角形外部

Answer 1

连接AP、BP、CP.
先证明一个定理：对角线互相垂直的任意四边形对边的平方和相等.
在四边形ABCD中,AC垂直于BD,AC交BD于O.
由勾股定理,AB^2=AO^2+BO^2.
CD^2=CO^2+DO^2.
BC^2=BO^2+CO^2.
AD^2=AO^2+DO^2.(其中a^b表示a的b次方)
于是AB^2+CD^2=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2=AD^2+BC^2.
开始证明：由定理,AP^2+BF^2=AF^2+BP^2.
BP^2+CD^2=CP^2+BD^2.
CP^2+AE^2=CE^2+AP^2.
三式左右两边分别相加,仍取等号,则BF^2+CD^2+AE^2=AF^2+BD^2+CE^2.
又BD=BF,CD=CE.代入式中,则AE^2=AF^2,AE=AF.