设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）（Ⅰ）证明：数列{bn}为等比数列；（Ⅱ）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2-1ln2，求

Question

设等差数列{a_n}的公差为d，点（a_n，b_n）在函数f（x）=2^x的图象上（n∈N^*）
（Ⅰ）证明：数列{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）若a₁=1，函数f（x）的图象在点（a₂，b₂）处的切线在x轴上的截距为2-(1)/(ln2)，求数列{a_nb_n²}的前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由已知得，b_n=2an＞0，
当n≥1时，(bn+1)/(bn)=(2an+1)/(2an)=2an+1−an=2^d，
∴数列{b_n}为首项是2a1，公比为2^d的等比数列；
（Ⅱ）f′（x）=2^xln2
∴函数f（x）的图象在点（a₂，b₂）处的切线方程为y-2a2=2a2ln2（x-a₂），
∵在x轴上的截距为2-(1)/(ln2)，
∴a₂-(1)/(ln2)=2-(1)/(ln2)，∴a₂=2，
∴d=a₂-a₁=1，a_n=n，b_n=2ⁿ，a_nb_n²=n4ⁿ，
∴T_n=1•4+2•4²+3•4³+…+（n-1）•4^n-1+n•4ⁿ，
4T_n=1•4²+2•4³+…+（n-1）•4ⁿ+n•4ⁿ⁺¹，
∴T_n-4T_n=4+4²+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹=(4n+1−4)/(3)-n•4ⁿ⁺¹=((1−3n)4n+1−4)/(3)，
∴T_n=((3n−1)4n+1+4)/(9)．