已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交线段AB于点E．（1）如图1，当∠ACB=90°时，则线段DE、CE之间的数量关系为；（2）如图2，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE；（3）如图3，在（2）

Question

已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交线段AB于点E．
（1）如图1，当∠ACB=90°时，则线段DE、CE之间的数量关系为______；
（2）如图2，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K，延长DK交AB于点H．若BH=10，求CE的长．

Answer 1

（1）∵∠DBC=∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠ACB=180°，
∴AC∥BD，
∴∠DBE=∠CAE
又∵∠DEB=∠AEC，
∴△DBE∽△CAE，
∴(BD)/(AC)=(DE)/(CE)，
又∵BD=BC=2AC，
∴DE=2CE；
故答案为DE=2CE．

（2）证明：如图2，∵∠DBC=∠ACB=120°，BD=BC，
∴∠D=∠BCD=30°，∴∠ACD=90°，
过点B作BM⊥DC于M，则DM=MC，BM=(1)/(2)BC，
∵AC=(1)/(2)BC，∴BM=AC，
∵在△BME和△ACE中

∠BME＝∠ACE

∠MEB＝∠AEC

BM＝AC

∴△BME≌△ACE（AAS），
∴ME=CE=(1)/(2)CM，
∴DE=3EC；

（3）如图，过点B作BM′⊥DC于点M′，过点F作FN⊥DB交DB的延长线于点N，
设BF=a，
∵∠DBF=120°，
∴∠FBN=60°，
∴FN=(√(3))/(2)a，BN=(1)/(2)a，
∵DB=BC=2BF=2a，∴DN=DB+BN=(5)/(2)a，
∴DF=√(DN2+FN2)=√(((5)/(2)a)2+((√(3))/(2)a)2)=√(7)a，
∵AC=(1)/(2)BC，BF=(1)/(2)BC，
∴BF=AC，
∴△BDF≌△BCA（SAS），
∴∠BDF=∠CBA，
又∵∠BFG=∠DFB，
∴△FBG∽△FDB，
∴(FG)/(BF)=(BF)/(DF)=(BG)/(DB)，
∴BF²=FG×FD，
∴a²=√(7)a×FG，
∴FG=(√(7))/(7)a，
∴DG=DF-FG=(6√(7))/(7)a，BG=(FG×DB)/(BF)=(2√(7))/(7)a，
∵△DKG和△DBG关于直线DG对称，
∴∠GDH=∠BDF，
∴∠ABC=∠GDH，
又∵∠BGF=∠DGH，
∴△BGF∽△DGH，
∴(BG)/(DG)=(GF)/(GH)，
∴GH=(DG×GF)/(BG)=(3√(7))/(7)a，
∵BH=BG+GH=(5√(7))/(7)a=10，
∴a=2√(7)；
∴BC=2a=4√(7)，
CM′=BCcos30°=2√(21)，
∴DC=2CM′=4√(21)，
∵DE=3EC，
∴EC=(1)/(4)DC=√(21)．