在三角形ABC中,A,B,C,所对的边a,b,c满足cosC=1-8b^2/a^2,求1/TANA+1/TANC,若tanB=8/15,tana=?tanc=?急急急纠正cos2c=1-8b^2/a^2

Question

在三角形ABC中,A,B,C,所对的边a,b,c满足cosC=1-8b^2/a^2,求1/TANA+1/TANC,若tanB=8/15,tana=?tanc=?
急急急纠正cos2c=1-8b^2/a^2

Answer 1

因为cosC^2+sinC^2=1；可得到：sinC=2b/a；
(1)由正弦定理可得：b/a=sinB/sinA
故：sinC=2sinB/sinA
而sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC
则：sinC=2(sinAcosC+cosAsinC)/sinA
sinC=2(cosC+sinC/tanA)
两边同除以sinC,得：
1=2(1/tanC+1/tanA)
故：1/tanA+1/tanC=1/2
(2)B=180度-（A+C)
所以tanB=-tan(A+C)=-(tanA+tanC)/(1-tanA*tanC)=8/15
又由1/tanA+1/tanC=1/2,可得：
tanA*tanC=2(tanA+tanC)
故：-（tanA+tanC)/[1-2(tanA+tanC)]=8/15
-15tanA-15tanC=8-16tanA-16tanC
tanA+tanC=8
tanA=8-tanC,代入tanA*tanC=2(tanA+tanC)=16,得：
（8-tanC)tanC=16
(tanC)^2-8tanC+16=0
(tanC-4)^2=0
tanC=4
tanA=8-tanC=8-4=4
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