如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF，那么AB与CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有

Question

如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么

AB

与

CD

的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？

Answer 1

（1）OE=OF，
理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA=OB，OC=OD，
∴∠OEB=∠OFD=90°，∠EOB=(1)/(2)∠AOB，∠FOD=(1)/(2)∠COD，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠EOB=∠FOD，
∵在△EOB和△FOD中，

∠OEB＝∠OFD

∠EOB＝∠FOD

OB＝OD

∴△EOB≌△FOD（AAS），
∴OE=OF．

（2）弧AB=弧CD，AB=CD，∠AOB=∠COD，
理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠OEB=∠OFD=90°，
∵在Rt△BEO和Rt△DFO中，

OB＝OD

OE＝OF

∴Rt△BEO≌Rt△DFO（HL），
∴BE=DF，
由垂径定理得：AB=2BE，CD=2DF，
∴AB=CD，
∴弧AB=弧CD，∠AOB=∠COD．