一平面过直线{x+5y+z=0,x-z+4=0},且与平面x-4y-8z+12=0垂直求该平面方程

Question

一平面过直线{x+5y+z=0,x-z+4=0},且与平面x-4y-8z+12=0垂直求该平面方程

Answer 1

设平方方程为
x+5y+z+a(x-z+4)=0
(1+a)x+5y+(1-a)z+4a=0
因为该平面和已知平面x-4y-8z+12=0垂直
所以
它们的法向量垂直,即
1×(1+a)-4×5-8×(1-a)=0
1+a-20-8+8a=0
9a=27
a=3
所以
方程为：(1+3)x+5y+(1-3)z+4×3=0
即4x+5y-2z+12=0