设f（x）是区间[0，π4]上单调、可导的函数，且满足∫f(x)0f-1(t)dt=∫x0tcost-sintsint+costdt，其中f-1是f的反函数，求f（x）．

Question

设f（x）是区间[0，(π)/(4)]上单调、可导的函数，且满足

∫

f(x) 0

f-1(t)dt=

∫

x 0

t(cost-sint)/(sint+cost)dt，其中f^-1是f的反函数，求f（x）．

Answer 1

由题意有：

∫

f(x) 0

f-1(t)dt=

∫

x 0

t(cost-sint)/(cost+sint)dt；
两边对x求导得：
f^-1（f（x））f'（x）=x(cosx-sinx)/(cosx+sinx)
又有：f^-1（f（x））=x；
因此：f^-1（f（x））f'（x）=xf′（x）=x(cosx-sinx)/(cosx+sinx)
又x≠0；
因此：f'（x）=(cosx-sinx)/(cosx+sinx)
两边积分得：
f（x）=∫(cosx-sinx)/(cosx+sinx)dx
=∫(1)/(cosx+sinx)d(sinx+cosx)
由x∈[0，(π)/(4)]；
sinx≥，cosx≥0；
sinx+cosx>0；
因此：f（x）=∫(1)/(cosx+sinx)d(sinx+cosx)
=ln（sinx+cosx）+C；
将x=0代入题中方程

∫

f(x) 0

f-1(t)dt=

∫

x 0

t(cost-sint)/(cost+sint)dt，有：

∫

f(0) 0

f-1(t)dt=

∫

0 0

t(cost-sint)/(cost+sint)dt=0；即：

∫

f(0) 0

f-1(t)dt=0；
因为f（x）是区间[0，(π)/(4)]上是单调、可导的函数，则f^-1（x）的值域为[0，(π)/(4)]；，单调非负，所以有：
f（0）=0；
又：f（0）=ln（sin0+cos0）+C=0+C=0；
因此：C=0；
所以：
f（x）=ln（sinx+cosx）