已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=n2+n．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=1anan+1+2an-1，（n∈N*）求数列{bn}的前n项和Sn．

Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=n²+n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=(1)/(anan+1)+2a_n-1，（n∈N^*）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=n²+n，
n≥2时，2S_n-1=（n-1）²+（n-1），…（2分）
∴2a_n=2S_n-2S_n-1=2n∴a_n=n（n≥2）…（4分）
又n=1时，a₁=1适合上式．
∴a_n=n…（6分）
(2)∵b n＝(1)/(anan+1)+2an−1＝(1)/(n(n+1))+2n−1＝((1)/(n)−(1)/(n+1))+(2n−1)…（8分）
∴Sn＝[(1−(1)/(2))+((1)/(2)−(1)/(3))+((1)/(3)−(1)/(4))+…+((1)/(n)−(1)/(n+1))]+(1+3+…+2n−1)…（10分）
=1−(1)/(n+1)+n2＝n2+1−(1)/(n+1)．…（12分）