数列一题设函数f(n)=n(n为自然数,奇数)=n/2（n为自然数,偶数）设数列an=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2^n)bn={log底数2真数（3an-2）}-10Sn为bn前n项和(1)写出anan+1的一个递推关系式,并求an关于n表达式（2）10^3是

Question

数列一题
设函数f(n)=n (n为自然数,奇数)
=n/2（n为自然数,偶数）
设数列an=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2^n)
bn={log底数2真数（3an-2）} -10 Sn为bn前n项和
(1)写出an an+1的一个递推关系式,并求an关于n表达式
（2）10^3是否在数列{bn乘Sn}中,若是,求项数?
bn={log底数2真数（3an-2）} -10
bn为一个对数减一个常数10
对数的底数是2，真数是（3an-2）

Answer 1

(1)很显然a(n+1)与an相差2^(n+1)-2^n=2^n项,其中奇偶一半.
所以
a(n+1)-an
=[2^n+1]+[2^(n-1)+1]+[2^n+3]+[2^(n-1)+2]+...+[2^n-1]+[2^(n-1)+2^(n-1)]
2^n有2^n/2个,加起来和为4^n/2
等差数列1,3,5...2^n-1有2^n/2个,加起来和为4^n/4
2^(n-1)有2^n/2个,加起来和为4^n/4
等差数列1,2,3...2^(n-1)也是2^n/2个,加起来和为2^n*[2^(n-1)+1]/4
所以递推关系式
a(n+1)-an=9/8*4^n+2^n/4
求an
an-a(n-1)=9/8*4^(n-1)+2^(n-1)/4 (n>=2)
用叠加法,消去中间项,右边是两个等比数列之和
an-a1=3/2*[4^(n-1)]+[2^(n-1)-1]/2
an=2+3/2*[4^(n-1)]+[2^(n-1)-1]/2
验证a1也满足这个式子
所以
an=3/2*4^(n-1)+2^(n-1)/2
(2)bn=log2 [9/2*4^(n-1)+3/2*2^(n-1)-2]-10
不可能
先讨论bn*Sn=1000
若bn,Sn都是整数,则有可能
若bn,Sn不是整数
b1=log2 1/2^8
b2=log2 19/2^10
b3=log2 76/2^10
除了b1*S1是整数外
{3an-2}从第二项起,因数中出现了2以外的质数,取对数后不是整数,因此bn中有无理数.
bn,Sn的形式,无非
bn=1og2 A,Sn=log2 B bn*Sn=log2 AB
要使bn*Sn为整数,则AB相乘必须是2的若干此幂
然而上面已经说了对数真数的因数中会出现了2以外的质数,因此AB不可能是2的若干次幂
也就是说bn*Sn不可能为整数,也就不可能等于1000
所以1000不在数列{bn*Sn}中