已知如图，圆锥的底面圆的半径为r（r＞0），母线长OA为3r，C为母线OB的中点在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点A爬行到点C的最短线路长为（）A.32rB.332rC.33rD.33r

Question

已知如图，圆锥的底面圆的半径为r（r＞0），母线长OA为3r，C为母线OB的中点在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点A爬行到点C的最短线路长为（　　）
A. (√(3))/(2)r
B. (3√(3))/(2)r
C. (√(3))/(3)r
D. 3√(3)r

Answer 1

由题意知，底面圆的直径为2r，故底面周长等于2rπ，
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2rπ=(nπ•3r)/(180)，
解得n=120，
所以展开图中扇形的圆心角为120°，
∴∠AOA′=120°，
∴∠1=60°，
过C作CF⊥OA，
∵C为OB中点，BO=3r，
∴OC=(3)/(2)r，
∵∠1=60°，
∴∠OCF=30°，
∴FO=(3)/(4)r，
∴CF²=CO²-OF²=(27)/(16)r²，
∵AO=3r，FO=(3)/(4)r，
∴AF=(9)/(4)r，
∴AC²=AF²+FC²=(27)/(16)r²+(81)/(16)r²=(27)/(4)r²，
∴AC=(3√(3)r)/(2)，
故选B．