如图，AB是O的直径，C是弧AB的中点，连接AC并延长至D，使DC=CA，连接DB，点E为OB的中点，连接CE并延长交DB的延长线于点F，连接AF交O于点H，连接BH．（1）求证：DF为O的切线；（2）若OB=2，求

Question

如图，AB是 O的直径，C是弧AB的中点，连接AC并延长至D，使DC=CA，连接DB，点E为OB的中点，连接CE并延长交DB的延长线于点F，连接AF交 O于点H，连接BH．

（1）求证：DF为 O的切线；
（2）若OB=2，求BH的长．

Answer 1

（1）证明：连接BC，如图所示：
∵AB是 O的直径，C是弧AB的中点，
∴∠ACB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵DC=CA，
∴AB=DB，
∴∠D=∠BAC=45°，
∴∠ABD=90°，即DF⊥AB，
∴DF为 O的切线；
（2） 连接OC，如图所示：
则OC⊥AB，
∴OC∥DF，
∵E是OB的中点，
∴BF=OC=OB=2，
∵∠ABF=90°，
∴AF=√(42+22)=2√(5)，
∵△ABF的面积=(1)/(2)AB•BF=(1)/(2)AF•BH，
∴BH=(AB••BF)/(AF)=(4×2)/(2√(5))=(4√(5))/(5)．