设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，4Sn=anan+1+1（n∈N*）．（1）求a15的值；（2）求证：数列{an}是等差数列；（3）若am-12，am，am+k+18成等差数列，其中m∈N*，k∈N*，求m的值．

Question

设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，4S_n=a_na_n+1+1（n∈N*）．
（1）求a₁₅的值；
（2）求证：数列{a_n}是等差数列；
（3）若a_m-12，a_m，a_m+k+18成等差数列，其中m∈N*，k∈N*，求m的值．

Answer 1

（1） ∵4S_n=a_na_n+1+1，
∴当n≥2时，4S_n-1=a_n-1a_n+1，两式相减可得a_na_n+1-a_n-1a_n=4a_n，又a_n>0，
∴a_n+1-a_n-1=4，
∴数列{a_2k-1}（k∈N^*）为等差数列，公差为4，
∴a₁₅=1+4×（8-1）=29；
（2）证明：由（1）可得a₃-a₁=a₄-a₂=4，a₂=3，a₄=5
∴a₂-a₁=2，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列；
（3） a_m=2m-1，a_m+k=2（m+k）-1，
由题意，（2m-1）²=（2m-13）（2m+2k+17），
∴2k+17=11+(144)/(2m-13)≥19，
∴2m-13>0，2m-13能被13整除，
∴2m-13为奇数1，3，9，
∴m=7，8，11．