如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，PA⊥平面ABC，AE⊥PB交PB于E，AF⊥PC于F，AP=AB=2，∠AEF=θ，当θ变化时，求三棱锥P-AEF的体积的最大值．

Question

如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，PA⊥平面ABC，AE⊥PB交PB于E，AF⊥PC于F，AP=AB=2，∠AEF=θ，当θ变化时，求三棱锥P-AEF的体积的最大值．

Answer 1

在Rt△PAB中，PA=AB=2，∴PB=2√(2)，
∵AE⊥PB，∴AE=(1)/(2)PB=√(2)，∴PE=BE=√(2)．
∵PA⊥底面ABC，得PA⊥BC，AC⊥BC，PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC，可得AF⊥BC
∵AF⊥PC，BC∩PC=C，∴AF⊥平面PBC
∵PB⊂平面PBC，∴AF⊥PB
∵AE⊥PB且AE∩AF=A，∴PB⊥面AEF，
结合EF⊂平面AEF，可得PB⊥EF．
∵AF⊥平面PBC，EF⊂平面PBC．∴AF⊥EF．
∴Rt△AEF中，AF=√(2)sinθ，EF=√(2)cosθ
∴S_△AEF=(1)/(2)AF•EF=(1)/(2)×√(2)sinθ×√(2)cosθ=(1)/(2)sin2θ
∴当sin2θ=1，即θ=45°时，S_△AEF有最大值为(1)/(2)，
此时，三棱锥P-AEF的体积的最大值为(1)/(3)×(1)/(2)×√(2)=

√(2)

作业帮用户 2017-02-05

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