一道高数(急)设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明:在(a,b)内存在点ξ和η使得f'(ξ)=(a+b)*f'(η)/2η

Question

一道高数(急)
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明:在(a,b)内存在点ξ和η使得
f'(ξ)=(a+b)*f'(η)/2η

Answer 1

设g(x)=x^2,则显然g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,根据柯西中值定理,存在η属于(a,b),使得
f'(η)/g'(η)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]
即f'(η)/2η=[f(b)-f(a)]/(b^2-a^2)
即(a+b)f'(η)/2η=[f(b)-f(a)]/(b-a)
因为f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,根据拉格朗日中值定理,存在点ξ属于(a,b),使得f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
因此f'(ξ)=(a+b)f'(η)/2η