已知数列{bn}满足bn+1=+，且b1=，Tn为{bn}的前n项和．（Ⅰ）求{bn}的通项公式；（Ⅱ）如果对任意n∈N*，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

Question

已知数列{b_n}满足b_n+1=+，且b₁=，T_n为{b_n}的前n项和．
（Ⅰ）求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）如果对任意n∈N^*，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（I）根据题意，将已知等式变形可得b_n+1-=（b_n-），从而得到{b_n-}成首项b₁-=3，公比为q=的等比数列，结合等比数列的通项公式即可算出{b_n}的通项公式；
（II）由等比数列的求和公式，算出T_n=6（1-）+，因此将等价变形为k，欲使该不等式对任意n∈N^*恒成立，则k≥（）_max．设c_n=，研究c_n+1-c_n可得当n≥5时c_n+1＜c_n，{c_n}为单调递减数列；当1≤n＜5时，{c_n}为单调递增数列，由此算出c_n的最大值是c₅=，从而得到满足不等式恒成立的实数k的范围为[，+∞）．
【解析】
（Ⅰ） 对任意n∈N^*，都有b_n+1=+，
两边都减去，得b_n+1-=-，即b_n+1-=（b_n-）
∴数列{b_n-}成等比数列，首项为b₁-=3，公比为q=              …（3分）
因此，b_n-=3×（）^n-1，可得b_n=3×（）^n-1+                  …（5分）
（Ⅱ）∵b_n=3×（）^n-1+ 
∴T_n=3（1+++…+）+×n=+=6（1-）+      …（8分）
又∵不等式恒成立，
∴将T_n表达式代入，化简得k对任意n∈N^*恒成立…（9分）
设c_n=，则c_n+1-c_n=-=             …（11分）
当n≥5时c_n+1-c_n＜0，得c_n+1＜c_n，{c_n}为单调递减数列；
当1≤n＜5时c_n+1-c_n＞0，得c_n+1＞c_n，{c_n}为单调递增数列
∵c₄=，c₅=，得c₄＜c₅
∴当n=5时，c_n取得最大值                   …（13分）
所以，要使k对任意n∈N^*恒成立，k≥
即满足不等式对任意n∈N^*恒成立的k的取值范围为[，+∞）．      …（14分）