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已知数列{bn}满足bn+1=+,且b1=,Tn为{bn}的前n项和.(Ⅰ)求{bn}的通项公式;(Ⅱ)如果对任意n∈N*,不等式恒成立,求实数k的取值范围.
题目详情
已知数列{bn}满足bn+1=
+
,且b1=
,Tn为{bn}的前n项和.
(Ⅰ)求{bn}的通项公式;
(Ⅱ)如果对任意n∈N*,不等式
恒成立,求实数k的取值范围.
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(Ⅰ)求{bn}的通项公式;
(Ⅱ)如果对任意n∈N*,不等式
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▼优质解答
答案和解析
(I)根据题意,将已知等式变形可得bn+1-
=
(bn-
),从而得到{bn-
}成首项b1-
=3,公比为q=
的等比数列,结合等比数列的通项公式即可算出{bn}的通项公式;
(II)由等比数列的求和公式,算出Tn=6(1-
)+
,因此将
等价变形为k
,欲使该不等式对任意n∈N*恒成立,则k≥(
)max.设cn=
,研究cn+1-cn可得当n≥5时cn+1<cn,{cn}为单调递减数列;当1≤n<5时,{cn}为单调递增数列,由此算出cn的最大值是c5=
,从而得到满足不等式恒成立的实数k的范围为[
,+∞).
【解析】
(Ⅰ) 对任意n∈N*,都有bn+1=
+
,
两边都减去
,得bn+1-
=
-
,即bn+1-
=
(bn-
)
∴数列{bn-
}成等比数列,首项为b1-
=3,公比为q=
…(3分)
因此,bn-
=3×(
)n-1,可得bn=3×(
)n-1+
…(5分)
(Ⅱ)∵bn=3×(
)n-1+
∴Tn=3(1+
+
+…+
)+
×n=
+
=6(1-
)+
…(8分)
又∵不等式
恒成立,
∴将Tn表达式代入,化简得k
对任意n∈N*恒成立…(9分)
设cn=
,则cn+1-cn=
-
=
…(11分)
当n≥5时cn+1-cn<0,得cn+1<cn,{cn}为单调递减数列;
当1≤n<5时cn+1-cn>0,得cn+1>cn,{cn}为单调递增数列
∵c4=
,c5=
,得c4<c5
∴当n=5时,cn取得最大值
…(13分)
所以,要使k
对任意n∈N*恒成立,k≥![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/fc1f4134970a304e606bf94ad4c8a786c9175c30.jpg)
即满足不等式
对任意n∈N*恒成立的k的取值范围为[
,+∞). …(14分)
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(II)由等比数列的求和公式,算出Tn=6(1-
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9e3df8dcd100baa19e631e0b4210b912c8fc2e36.jpg)
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【解析】
(Ⅰ) 对任意n∈N*,都有bn+1=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/03087bf40ad162d946a13bac14dfa9ec8a13cd37.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b7fd5266d0160924c697fbabd10735fae7cd34cb.jpg)
两边都减去
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f636afc379310a553a968744b24543a9832610cb.jpg)
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∴数列{bn-
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8644ebf81a4c510f0576bbaa6559252dd52aa5d4.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b8389b504fc2d5629046895de21190ef76c66c37.jpg)
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因此,bn-
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/95eef01f3a292df5c68df5a5b9315c6034a87337.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/48540923dd54564ea02bbd89b6de9c82d1584f37.jpg)
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(Ⅱ)∵bn=3×(
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a6efce1b9d16fdfab1c19f5eb18f8c5495ee7bd4.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d53f8794a4c27d1eb36862741ed5ad6eddc43837.jpg)
∴Tn=3(1+
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0824ab18972bd40745898a4d7e899e510fb30937.jpg)
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又∵不等式
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5bafa40f4bfbfbed29f46fcf7df0f736aec31fd4.jpg)
∴将Tn表达式代入,化简得k
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/78310a55b319ebc43cd52f298726cffc1f1716d4.jpg)
设cn=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f703738da9773912248bdcd1fd198618377ae2d5.jpg)
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当n≥5时cn+1-cn<0,得cn+1<cn,{cn}为单调递减数列;
当1≤n<5时cn+1-cn>0,得cn+1>cn,{cn}为单调递增数列
∵c4=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a1ec08fa513d2697987e51ed50fbb2fb4216d8d5.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d4628535e5dde711889b1a46a2efce1b9d166130.jpg)
∴当n=5时,cn取得最大值
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8644ebf81a4c510f0569bbaa6559252dd52aa5d5.jpg)
所以,要使k
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/242dd42a2834349be0ab3735ccea15ce37d3bed5.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/fc1f4134970a304e606bf94ad4c8a786c9175c30.jpg)
即满足不等式
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a686c9177f3e670985491c4f3ec79f3df8dc5530.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5243fbf2b211931344eea60060380cd790238dd5.jpg)
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