已知函数f（x）=ex-x-1（e为自然对数的底数，e=2.71828…）（1）判断函数f（x）的零点个数，并说明理由；（2）已知n∈N*，且An+Bn＝∫n0f(x)dx+n，An是等差数列{an}的前n项和，Bn是首项为e-1的等比

Question

已知函数f（x）=e^x-x-1（e为自然对数的底数，e=2.71828…）
（1）判断函数f（x）的零点个数，并说明理由；
（2）已知n∈N^*，且An+Bn＝

∫

n 0

f(x)dx+n，A_n是等差数列{a_n}的前n项和，B_n是首项为e-1的等比数列{b_n}的前n项和，请求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（3）若{x|f（x）＞ax-1}∩{x|(1)/(2)≤x≤2}=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=e^x-x-1，
∴f′（x）=e^x-1，
∴x＜0，f′（x）＜0，x＞0，f′（x）＞0，
∴f（x）_min=f（0）=0，
∴x≠0时，f（x）＞0，故f（x）只有一个零点；
（2）∵An+Bn＝

∫

n 0

f(x)dx+n，
∴A_n+B_n=-(1)/(2)n2+eⁿ-1，
由等差数列、等比数列的前n项和性质可知：A_n=-(1)/(2)n2，B_n=eⁿ-1，
∴a_n=-n+(1)/(2)，b_n=（e-1）e^n-1；
（3）x∈[(1)/(2)，2]时，f（x）＞ax-1等价于e^x-x＞ax，即a＜(ex−x)/(x)，
设g（x）=(ex−x)/(x)，则g′（x）=(ex(x−1))/(x2)，
x＞1时，g′（x）＞0；x＜1时，g′（x）＜0，
∵g（(1)/(2)）=2√(e)-1，g（2）=(e2)/(2)-1，
∴x∈[(1)/(2)，2]时，g（x）_max=g（2）=(e2)/(2)-1，
∴a＜(e2)/(2)-1，即a的取值范围为（-∞，(e2)/(2)-1）．