limx趋于正无穷[4^x-3^x]^(1/x).请快点回答,

Question

limx趋于正无穷[4^x-3^x]^(1/x) .请快点回答,

Answer 1

f(x) = [4^x-3^x] ^ (1/x) ,ln f(x) = (1/x) ln[4^x-3^x]
lim(x->+∞) (1/x) ln [4^x-3^x]
= lim(x->+∞) ln [4^x-3^x] / x
= lim(x->+∞) [4^x * ln4 - 3^x * ln3] / (4^x - 3^x) 洛必达法则的
= lim(x->+∞) [ ln4 - (3/4)^x * ln3] / [1 - (3/4)^x] 分子分母同时除以 4^x
= ln4
原式 = e^(ln4) = 4
也可以用迫敛准则.f(x) = [4^x-3^x] ^ (1/x) = 4 * [1-(3/4) ^x] ^ (1/x)
当x>1时,[1- (3/4) ] ^(1/x) < [1- (3/4) ^ x ] ^ (1/x) < 1
lim(x->+∞) [1-(3/4)] ^(1/x) = lim(x->+∞) (1/4) ^ (1/x) = 1
于是 lim(x->+∞) f(x) = 4